Diagramas de Flujo de Señal - Diagramas de Mason

Diagramas de Flujo de Señal

El diagrama de bloques es útil para la representación gráfica de sistemas de control dinámico y se utiliza extensamente en el análisis y diseño de sistemas de control. Otro procedimiento alternativo para representar gráficamente la dinámica del sistema d control, es el método de los gráficos de flujo de señal, atribuido a S.J. Mason.

Un gráfico de flujo de señal es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. Al aplicar el método de gráficos de flujo de señal al análisis de sistemas de control, primero hay que transformar las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas en  s.

Un gráfico de flujo de señal consiste en una red en la cual los nodos están conectado por ramas con dirección y sentido. Cada nodo representa una variable del sistema y cada rama conectada entre dos nodos, actúa como un multiplicador de señal. Nótese que la señal fluye solamente en un sentido. El sentido del flujo de señal se indica por una flecha ubicada en la rama y el factor de multiplicación aparece a lo largo de la rama. El gráfico de flujo de señal despliega el flujo de señales de un punto de un sistema a otro y da las relaciones entre las señales.

Como se indicó anteriormente, un gráfico de flujo de señal contiene esencialmente la misma información que un diagrama de bloques.

Fórmula de ganancia de Mason, se utiliza para obtener las relaciones entre las variables del sistema sin necesidad de efectuar la reducción del gráfico.

Una gráfica de flujo de señal se puede ver como una versión simplificada de un diagrama de bloques, cuyos elementos básicos son los siguientes:

Nodos: se utilizan para expresar variables.

Ramas: Son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La señal se transmite a través de una rama solamente en la dirección de la flecha.

Nodo de entrada (fuente): Es un nodo que tiene solamente ramas de salida.

Nodo de salida (pozo): Es un nodo que tiene solamente ramas de entrada.

Trayectoria: es una sucesión continua de ramas que se dirigen  en la misma dirección.

Trayectoria directa: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y termina en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningún nodo se atraviesa más de una vez.

Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde ningún otro nodo se atraviesa más de una vez.

Ganancia de la trayectoria: Es el producto de las ganancias de las ramas de una trayectoria.

Lazos disjuntos: Son lazos que no comparten ningún nodo en común.

A partir de estas definiciones es posible plantear  el uso de la  Fórmula de Ganancia de Mason para reducir Diagramas de Flujo de señal.

Un nodo suma las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa suma a todas las ramas de salida.

Diagramas de Mason

Los diagramas de Mason son una forma alternativa a los diagramas de bloques para representar un sistema dinámico. En estos diagramas las funciones de transferencias las representamos a través de líneas con flechas (envés de bloques), y las variables a través de nodos. Con el sentido de la flecha indicamos el sentido en como va la información (como en los diagramas de bloques).

Read more »

DIAGRAMAS DE BLOQUES - ÁLGEBRA DE BLOQUES

Diagramas de bloque

A partir de la definición de función de transferencia de un sistema SISO, resulta ser conveniente una descripción gráfica de los sistemas. Una de dichas representaciones gráficas es la que denominamos diagramas de bloques. En ella las funciones de transferencia se representan mediante un bloque (un  rectángulo en cuyo interior se describe la función de transferencia), del cual ingresa (flecha en el sentido hacia el bloque) la señal de entrada, y sale (flecha en el sentido hacia afuera del bloque) la salida que será el producto de la función de transferencia por la entrada:

Para completar los diagramas de bloques de los sistemas hace falta incorporar un nuevo elemento: los sumadores. En el mismo, todas las señales ingresantes son sumadas con su respectivo signo para dar como resultado la salida:

Así los sistemas pueden ser descriptos gráficamente a través de diagramas de bloques. Estos diagramas de bloques pueden ser reducidos utilizando el algebra de bloques para obtener un solo bloque total en el cual se describa la función de transferencia entre la entrada del sistema a la salida del sistema. A continuación veremos en que consiste este algebra de bloques.

En particular, las funciones de transferencia que consisten en directamente multiplicar la entrada por una constante se las llaman directamente ganancias, y suelen dibujarse como triángulos:

Reducción de los diagramas de bloques

Podemos encontrar diversos sistemas de control, representados con diagramas de bloques complejos. Dichos diagramas los podemos reducir a un simple bloque empleando las siguientes reglas:

Bloques en serie:

Bloques en paralelo:

Bloques en realimentación:

Equivalencias en el álgebra de bloques:

Ejemplo:

Tenemos el diagrama de bloques de la siguiente figura, el cual queremos reducir.

Utilizando la reducción del lazo interno G1-G3 el diagrama queda:

Transladando de lugar la señal entrante al bloque G6:

Finalmente, de la figura que es una retroalimentación en serie con unos bloques en paralelo, obtenemos la función de transferencia G(s) = Y(s)/R(s):

Read more »

4.3. VÍDEO TUTORIAL DE ROUTH-HURWITZ

Vídeo Tutorial de Routh-Hurwitz

Read more »

4.2. CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Casos Especiales:

Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño  ε  y se evalúa el resto del arreglo.

Ejemplo 3:

Considere la ecuación:

El arreglo de coeficientes es:

Si el signo del coeficiente que está encima del cero (ε) es igual al signo que está abajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.

Ejemplo 4:

Si  todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces con magnitudes iguales y signos  opuestos  y/o  dos  raíces  imaginarias  conjugadas.  En  este  caso,  la  evaluación  del  resto  del  arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el  empleo  de  los  coeficientes  de  la  derivada  de  este  polinomio  en  el  renglón  siguiente.  Tales  raíces se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado n 2, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación:

El arreglo de coeficientes es:

Todos  los  términos  del  renglón s^3   son  cero.  Después  se  forma  el  polinomio  auxiliar  a  partir  de  los coeficientes del renglón s^4  El polinomio auxiliar  P(s ) es

lo  cual  indica  que  hay  dos  pares  de  raíces  de  igual  magnitud  y  signo  opuesto.  Estos pares  se  obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar  P(s)= 0 . La derivada de  P(s) con respecto a  s  es

Los coeficientes de la última ecuación, sustituyen los términos del renglón 3 del arreglo. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

No existen cambios de signo en la primera columna, no hay raíces con parte real positiva, sin embargo si hay raíces imaginarias.

Despejando las raíces del polinomio auxiliar

Obtenemos

Ejemplo 5:

Determine el rango de valores de  K  para la estabilidad.

La ecuación característica es:

El arreglo de coeficientes se convierte en:

Para  la  estabilidad,  K   debe  ser  positiva,  y  todos  los  coeficientes  de  la  primera  columna  deben  de  serlo también.

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de  K  sería.

Cuando  600 = K ,  el  sistema  se  vuelve  oscilatorio  y, matemáticamente, la  oscilación  se mantiene  en  una amplitud constante.

Ejemplo 6:

Determine la estabilidad para siguiente sistema

La ecuación característica es

El arreglo de coeficientes se convierte en

Como  el  signo  arriba  y  abajo de  ε   son diferentes,  existen dos  cambios de  signo  en  los  coeficientes de  la primera columna, hay dos raíces con parte real positiva, el sistema es inestable.

Ejemplo 7:

Determine la estabilidad para siguiente sistema

La ecuación característica es:

El arreglo de coeficientes es

Todos  los  términos  del  renglón S^1 son cero. Entonces se forma el polinomio auxiliar a partir  de los coeficientes del renglón S^2 El polinomio auxiliar P(S) es.

Lo cual indica que hay dos raíces de igual magnitud y signo opuesto. La derivada de  P(s)  con respecto a s es.

Los coeficientes del renglón S^1 de la ecuación, se sustituyen por el polinomio determinado. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

Existen dos cambios de signo en la primera columna, hay dos raíces con parte real positiva. Pero también existen raíces  imaginarias por el cero que se formó en el renglón S^1. Despejando las raíces del polinomio auxiliar.

Obtenemos las dos raíces imaginarias

Read more »

5. ERROR EN ESTADO ESTABLE

Error en Estado Estacionario:

El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria. Se analizará el error en estado estacionario provocado por  la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas.

El  que  un  sistema  dado  presente  o  no  un  error  en  estado  estacionario  ante  determinado  tipo  de  señal  de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema.

Clasificación de los sistemas de control

Los  sistemas  de  control  se  clasifican  de  acuerdo  con  su  capacidad  de  seguir  entradas  escalón,  rampa, parábola,  etc.  Considere  el  sistema  de  control  con  realimentación  unitaria  con  la  siguiente  función  de transferencia en lazo abierto G(s):

Este sistema contiene el término s^N en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos  s 1 ) indicadas por la función de transferencia en  lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N = 2,…etc.

Ejemplo: 

Error en estado estacionario:

El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada.

El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.

Puede observarse de que el error depende:

•     De la entrada: R(S)
•     De las características del sistema de lazo abierto GH(S)

Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

El error en estado estacionario es

Sistemas con realimentación unitaria:

Estos sistemas tienen un diagrama en bloques como el indicado en la fig. En ellos la señal de referencia y la de entrada coinciden o sea: SR(s)= R(s):

En general cualquier función transferencia puede ser escrita como:

Para los sistemas de realimentación unitaria el “tipo de sistema” se define según sea el valor de “n” en la expresión anterior. Es decir según el número de integraciones puras en la cadena directa.

Ejemplo:

El tipo de sistema indica que orden de señales de referencia puede “seguir” un sistema con error nulo en régimen estacionario. Aquí “el orden” se refiere a la potencia de s en la transformada de Laplace de la referencia. Para ver esto, 

investigaremos el error en estacionario para varios tipos de sistemas, debido a las señales de referencia: impulso R(s)=1, escalón R(s)=1/s, rampa R(s)=1/s∧2 y parábola R(s)=1/s∧3. 

El error para el sistema de realimentación unitaria, se obtiene como: 

En régimen permanente, el error se obtiene aplicando el teorema del valor final, de la transformada de Laplace:

1.- Entrada Impulso: R(s)=1:

Sistema Tipo “0”: 

Sistema tipo “1”:

Sistema tipo “2” y superiores:

2.-Entrada escalón R(s)=1/s:


Sistema Tipo “0”:

Sistemas Tipo “1” y mayores:

3.- Entrada rampa R(s)=1/s∧2: 

Sistema tipo “0”

Sistema Tipo “1”

Sistema Tipo “2” y superiores

4.-Entrada parábola R(s)=1/s∧3: 

Sistema Tipo “0”, 

Sistema Tipo “1”, 

Sistema tipo “2”, 

Sistema tipo “3” y superiores

Read more »