4.1. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ

Introducción:

Routh (1874) propuso un criterio legendario para saber si Un polinomio como:

Tiene todas sus raíces en el semiplano izquierdo, o no. El Criterio resulta de plantear un arreglo de coeficientes, con Forma triangular, y de observar si la primera columna tiene Todos sus coeficientes con signos iguales, o no.

El Arreglo:

El arreglo se construye de la manera siguiente:

Las dos filas superiores se construyen de modo obvio, con los coeficientes del polinomio; las otras filas se construyen paulatinamente mediante el procedimiento insinuado enseguida:

El problema más importante de los sistemas de control lineal tiene que ver con la estabilidad. Un sistema de control  es  estable  si  y  sólo  si  todos  los polos  en  lazo  cerrado  se  encuentran  en  el  semiplano  izquierdo  del plano s.

Consideremos la siguiente función de transferencia de lazo cerrado. 

En donde las a y las b son constantes y  n m ≤ .

Criterio de estabilidad de Routh: 

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano  s  (raíces positivas) sin tener que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.

Procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh:

1. Escriba el polinomio en  s del denominador en la forma siguiente: 

En donde  los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que  0 ≠ n a ; es decir, se elimina cualquier raíz cero.

2. Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso, el sistema no es estable. La  condición necesaria,  pero no  suficiente, para  la  estabilidad  es que  todos  los  coeficientes de  la  ecuación estén presentes y tengan signo positivo.

3. Si todos  los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio en renglones y columnas de acuerdo con el patrón o arreglo siguiente:

Los coeficientes  b1,b2,b3,…,c1,c2,c3,….,d1,d2,…,  etc., se evalúan del modo siguiente: 

La evaluación continúa hasta que todas las restantes son cero. 

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arreglo. 

La condición necesaria y  suficiente para que  todas  las  raíces de  la ecuación  se encuentren en el semiplano izquierdo del plano  s  es que todos los coeficientes de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo positivo. 

Ejemplo 1:

Considere el polinomio siguiente:

Los primeros dos renglones se obtienen directamente del polinomio dado. El arreglo de coeficientes sería

Hay dos cambios de signo en los coeficientes de la primera columna. Esto significa que existen dos raíces con partes reales positivas. Observe que el resultado no se modifica cuando los coeficientes de cualquier renglón se multiplican por, o se dividen entre, un número positivo para simplificar el cálculo.

Ejemplo 2:

Aplicación del criterio de estabilidad de Routh al análisis de un sistema de control. Considere  el  sistema de  la  figura. Determine  el  rango de valores  de  K  para  la  estabilidad. La  función de transferencia en lazo cerrado es

La ecuación característica es

El arreglo de coeficientes se convierte en

Para  la  estabilidad,  K  debe  ser  positiva,  y  todos  los  coeficientes  de  la  primera  columna  deben  de  serlo también

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de K sería

Cuando K= 14/9,  el Coeficiente  de  la  primer  columna  de  la  fila 1 s se  hace  cero,  esto  significa que  existen raíces  imaginarias y  el  sistema  se vuelve  oscilatorio  y, matemáticamente,  la oscilación  se mantiene  en una amplitud constante.

Se pueden calcular las raíces imaginarias, considerando un polinomio auxiliar el cuál se obtiene tomando los coeficientes de la fila que se encuentra arriba donde se generó el cero. La ecuación sería

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3.1 Funciones de Transferencia

En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Empezaremos por definir la función de transferencia y proseguiremos con una derivación de la función de transferencia de un sistema mecánico.

La función de  transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de  Laplace  de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace  de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial: 

En donde y es la salida del sistema y  x es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtiene tomando la transformada de  Laplace de ambos miembros de la ecuación bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero, o bien.

A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s.  Si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a  >t,  el sistema se denomina  sistema de n-ésimo orden.

La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas.

A continuación se presentan algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia. (Observe que, en la lista, los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo.)

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta

para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

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2.3 Comparación entre Lazos

Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante.

Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles  y/o variaciones impredecibles en los componentes del sistema.

Observe que la valoración de la energía de salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa  y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general

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2.2 Sistemas de control en lazo abierto

Sistemas de control en lazo abierto

Los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control se denominan  sistemas de control en lazo abierto.

En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para comparar la con la entrada. Un ejemplo práctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el enjuague en la lavadora operan con una base de tiempo. La máquina no mide la señal de salida, que es la limpieza de la ropa.

En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada.

En  La práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado. 

Observe que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto.

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2.1 Sistemas de control en lazo cerrado

Sistemas de control realimentados o control en lazo cerrado:

Un sistema que mantiene una relación prescrita entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como, se denomina  sistema de control realimentado.  

Un ejemplo sería el  sistema de control de temperatura de una habitación. Midiendo la temperatura real y comparándola con la temperatura de referencia (la temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefacción o de enfriamiento para asegurar que la temperatura, de la habitación se conserve en un  nivel cómodo  sin considerar las condiciones externas.

Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniería, sino que también se encuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el cuerpo humano es un sistema de control realimentado muy avanzado tanto la temperatura corporal como la presión sanguínea se conservan constantes mediante una realimentación fisiológica. De hecho, la realimentación realiza una función vital: vuelve el cuerpo humano relativamente insensible a las perturbaciones externas, por lo cual lo habilita para funcionar en forma adecuada en un ambiente cambiante.

Los sistemas de control realimentados se denominan también  sistemas de control en  lazo  cerrado.  En la práctica, los términos control  realimentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. 

En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal de salida y sus derivadas  y/o integrales), a fin de reducir el error  y llevar la salida del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del sistema.

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1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

¿QUÉ ES UN SISTEMA DE CONTROL?

Los sistemas de control están formados por un conjunto de dispositivos de diversa naturaleza (mecánicos, eléctricos, electrónicos, neumáticos, hidráulicos) cuya finalidad es controlar el funcionamiento de una máquina o de un proceso.

En todo sistema de control podemos considerar una señal de entrada que actúa sobre el mismo y una señal de salida proporcionada por el sistema, según el siguiente esquema:

Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. 

Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningún tipo de control.

La  Figura ilustra de un modo conceptual el funcionamiento de un sistema.  

Dentro de los sistemas se encuentra el concepto de sistema de control. Un sistema de control es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de una serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento del sistema. La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulación de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados (consigna).

 Un sistema de control ideal debe ser capaz de conseguir su objetivo cumpliendo los siguientes requisitos:

1.  Garantizar la estabilidad y, particularmente, ser robusto frente a perturbaciones y errores en los modelos.

2.  Ser tan eficiente como sea posible, según un criterio preestablecido. Normalmente este criterio consiste en que la acción de control sobre las variables de entrada sea realizable, evitando comportamientos bruscos e irreales.

3.  Ser fácilmente implementable y cómodo de operar en tiempo real con ayuda de un ordenador.

Los elementos básicos que forman parte de un sistema de control y permiten su manipulación son los siguientes:

 -  Sensores. Permiten conocer los valores de las variables medidas del sistema.

-  Controlador. Utilizando los valores determinados por los sensores y la consigna impuesta, calcula la acción  que debe aplicarse para modificar las variables de control en base a cierta estrategia.

-  Actuador. Es el mecanismo que ejecuta la acción calculada por el controlador y que modifica las variables de control.

La figura ilustra el esquema de funcionamiento de un sistema de control  genérico.  

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Sistemas de Control para Ingeniería, 3ra Edición – Norman S. Nise

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Esta tercera edición ofrece una clara y completa introducción a la teoría y práctica de la ingeniería de control, una manera esencial y con amplia variedad y aplicaciones en la ingeniería eléctrica, electrónica, mecánica y química. El texto destaca la aplicación practica a los análisis y diseño de sistemas de retroalimentación. Las características clave de esta edición son: una organización estandarizada de los capítulos, explicaciones cualitativas y cuantitativas, abundantes ejemplos y ejercicios de evaluación, estudios de casos reales en todo el texto, ilustraciones claras y numerosos problemas al final de cada capitulo. Se señala con un icono todos los ejemplos y problemas de diseño . MATLAB se utiliza a lo largo del texto para la solución de problemas y los estudios de casos.


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