4.2. CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ

Casos Especiales:

Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño  ε  y se evalúa el resto del arreglo.

Ejemplo 3:

Considere la ecuación:

El arreglo de coeficientes es:

Si el signo del coeficiente que está encima del cero (ε) es igual al signo que está abajo de él, quiere decir que hay un par de raíces imaginarias.

Ejemplo 4:

Si  todos los coeficientes de cualquier renglón son cero significa que existen raíces con magnitudes iguales y signos  opuestos  y/o  dos  raíces  imaginarias  conjugadas.  En  este  caso,  la  evaluación  del  resto  del  arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón y mediante el  empleo  de  los  coeficientes  de  la  derivada  de  este  polinomio  en  el  renglón  siguiente.  Tales  raíces se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliar de grado n 2, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación:

El arreglo de coeficientes es:

Todos  los  términos  del  renglón s^3   son  cero.  Después  se  forma  el  polinomio  auxiliar  a  partir  de  los coeficientes del renglón s^4  El polinomio auxiliar  P(s ) es

lo  cual  indica  que  hay  dos  pares  de  raíces  de  igual  magnitud  y  signo  opuesto.  Estos pares  se  obtienen resolviendo la ecuación del polinomio auxiliar  P(s)= 0 . La derivada de  P(s) con respecto a  s  es

Los coeficientes de la última ecuación, sustituyen los términos del renglón 3 del arreglo. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

No existen cambios de signo en la primera columna, no hay raíces con parte real positiva, sin embargo si hay raíces imaginarias.

Despejando las raíces del polinomio auxiliar

Obtenemos

Ejemplo 5:

Determine el rango de valores de  K  para la estabilidad.

La ecuación característica es:

El arreglo de coeficientes se convierte en:

Para  la  estabilidad,  K   debe  ser  positiva,  y  todos  los  coeficientes  de  la  primera  columna  deben  de  serlo también.

Por tanto, para que el sistema de control sea estable, el rango de  K  sería.

Cuando  600 = K ,  el  sistema  se  vuelve  oscilatorio  y, matemáticamente, la  oscilación  se mantiene  en  una amplitud constante.

Ejemplo 6:

Determine la estabilidad para siguiente sistema

La ecuación característica es

El arreglo de coeficientes se convierte en

Como  el  signo  arriba  y  abajo de  ε   son diferentes,  existen dos  cambios de  signo  en  los  coeficientes de  la primera columna, hay dos raíces con parte real positiva, el sistema es inestable.

Ejemplo 7:

Determine la estabilidad para siguiente sistema

La ecuación característica es:

El arreglo de coeficientes es

Todos  los  términos  del  renglón S^1 son cero. Entonces se forma el polinomio auxiliar a partir  de los coeficientes del renglón S^2 El polinomio auxiliar P(S) es.

Lo cual indica que hay dos raíces de igual magnitud y signo opuesto. La derivada de  P(s)  con respecto a s es.

Los coeficientes del renglón S^1 de la ecuación, se sustituyen por el polinomio determinado. Por consiguiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

Existen dos cambios de signo en la primera columna, hay dos raíces con parte real positiva. Pero también existen raíces  imaginarias por el cero que se formó en el renglón S^1. Despejando las raíces del polinomio auxiliar.

Obtenemos las dos raíces imaginarias